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谈谈对电磁场算子方程的一点总结和认识，算作抛砖引玉，相信会涌现出更多更精彩的分析与评论。forlink在此恳请大家多多回帖并发表意见，这是对原创帖子的极大鼓舞，再次拜谢。
要理解算子方程，首先要理解的就是算子的概念。哈密尔顿微分算子▽，又称矢量微分算子，其定义式为▽＝（б/бx，б/бy，б/бz）。电磁场“三度”即梯度、旋度和散度均是藉此符号定义的。其与物理场（标量场或矢量场）作用规律满足矢量代数运算法则。下面结合“三度”具体说明。
标量场的梯度定义式是▽Φ＝gradΦ＝（бΦ/бx，бΦ/бy，бΦ/бz），根据矢量代数运算法则，标量乘以矢量结果仍是矢量，因此标量场的梯度是矢量场；矢量场的旋度定义式为▽×T＝curlT＝矢量场，根据矢量代数运算法则，两个矢量叉乘仍是矢量，因此矢量场的旋度仍是矢量场；矢量场的散度定义式为▽•T＝divT＝标量场，根据矢量代数运算法则，两个矢量点乘是标量，因此矢量场的散度是标量场。
数学家将哈密尔顿微分算子引入电磁学的初衷就是简化电磁场方程，便于同行交流。哈密尔顿微分算子的经典应用就是高斯定理和斯托克斯定理。高斯定理描述的是：任何矢量的法向分量对任何闭合曲面的积分，就等于该矢量的散度对该闭合曲面所包围成的体积的积分。用哈密尔顿微分算子表达就是：∮T•ds＝∫▽•TdV。斯托克斯定理描述的是：任何有向曲面上的曲面积分，就等于其边界曲线上的曲线积分。用哈密尔顿微分算子表达就是：
∮C•dl＝∫（▽×T）ds。
下面分析哈密尔顿微分算子与物理场（标量场或矢量场）作用后的可能组合。
（1）▽×（▽Φ） （2）▽•（▽Φ） （3）▽（▽•T） （4）▽•（▽×T） （5）▽×（▽×T）
根据矢量代数运算法则可以核实，以上是所有可能的组合。现在运用矢量代数运算法则对以上各个表达式进行分析，以帮助大家理解和记忆。
根据矢量代数运算法则，A×（AΦ）＝（A×A）Φ＝0，因此表达式（1）的结果为零。再看看表达式（4），根据矢量代数运算法则，A•（A×B）＝0，因为A×B垂直于A，在A的方向上就没有A×B的分量，其点乘结果自然是零。表达式（1）和（4）等于零这个事实在物理学上有十分重要的应用。先谈谈表达式（1）的应用，如若某矢量场E的旋度为零，我们根据表达式（1），我们猜想这个矢量场E可能是某标量场Φ的梯度，换句话说如若▽×E＝0，则存在Φ，使得E＝▽Φ（事实上E＝－▽Φ亦可），大家至此可以看出这是静电场中场强E和电位Φ的关系！再看表达式（4）的应用，如若某矢量场B的散度等于零，我们根据表达式（4），很自然想到这个矢量场B可能是某矢量场A的旋度，换句话说如若▽•B＝0，则存在A，使得B＝▽×A，大家再一次欣喜地看到这是磁场中磁感应强度B和磁矢位A的关系！
现在再来看其他几个表达式的意义。对于（2）式，运用矢量代数运算法则，
▽•（▽Φ）＝▽•▽Φ＝（▽•▽）Φ＝▽^2，现在出现了一个新的运算符▽^2，物理学家把它称为拉普拉斯算子，▽^2＝б^2/бx^2+б^2/бy^2+б^2/бz^2，很显然它是一个标量运算符。由于拉普拉斯算子是一个标量运算符，就可以用它来对矢量进行运算，这意味着对直角坐标系的每一个分量进行同种运算，▽^2T＝（▽^2Tx，▽^2Ty，▽^2Tz）。再分析（5）式，根据矢量代数运算法则A×（B×C）＝B（A•C）－（A•B）C，则（5）式便为▽×（▽×T）＝▽（▽•T）－（▽•▽）T＝▽（▽•T）－▽^2T。（3）式所描述的是一个矢量场，它只不过是偶尔会出现的一种矢量场，而且是数学运算中产生的，不是实际存在的物理场，不作过多讨论。
最后谈谈电磁场方程的理解。描述电磁场的规律既可以用场量（电场强度E和磁感应强度B）微分方程，也可以用位（电标位Φ，磁矢位A，磁标位Φm）微分方程。场量微分方程物理概念明确，但却不便于求解计算。实际中使用的大都是位微分方程。电磁场位求得后，根据定义即可得出场量，继而求出能量、磁链和电感等。描述静电场的位方程为▽^2Φ＝－ρ/ε，描述恒磁场的位方程为▽^2A＝－μJ，他们分别为标量泊松方程和矢量泊松方程。对于无源区域，泊松方程退化为拉普拉斯方程。描述涡流场（又称低频场、似稳场，其实质是忽略了位移电流对磁场的影响）的位方程为▽^2A＝μσ▽Φ＋μσбA/бt＝－μ（Jp＋Ji），式中第一项Jp为外加电流密度，第二项Ji为由涡流产生的电流密度。以上位方程的求解问题即是电磁场数值计算这们学科需要研究的内容。
以上是个人学习和研究工作的一点理解和认识，希望能对从事电磁场理论分析与数值计算的朋友们有点帮助，如有不当之处还请同仁批评指正。
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