旧文：《例说数学中推广的思想》

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前言：

        本文是两年前我大一时提交给李继根老师的一篇读书笔记。近日整理大学里写的种种小论文或是笔记，今后会挑选其中一些得意之作和大家分享。本文是我进大学以后写的第一篇数学思想类的小短文。以下是正文

       本文并不是仅仅对于某一本书的书评或是读书笔记，事实上是最近一个时期以来所读的包括教科书、教辅书、杂书、文章在内的总结。文中出现的例子主要为了是阐述数学中推广的思想，限于学识，也许内容不够深刻，尚不能达到管窥一斑的程度，但是也有自己对此的理解。

在数学家看来，推广的主要目的是去寻得一种拓宽思想的途径，同时推广也是一种方法，往往能够证明或者推翻某一命题。严格地说，推广是从一个给定的对象集合进而去考虑包含这个集合的更广集合中的情形的一种方法。当然，并不是所有的推广都是好的。数学家George Polya曾说：“推广有两种类型，一种是价值不大的，另一种是有价值的。推广之后冲淡了的是不好的，推广后提炼了的是好的”。

事实上，任何事物的发展，包括数学理论都离不开从特殊到一般、从简单到复杂的发展过程。推广就是这种发展阶段中不可缺少的一环。例如，在李继根老师第一节课中提到的例子三角形数、四角形数一直到n角形数，这种从简单到一般的推理过程就是推广的体现。这些所谓的多角数也有许多有趣的性质例如在1796年，数学王子高斯找到了“自然数可以表示为三个三角形数之和”的证明。与此同时，他还发现“自然数可以表示为四个完全平方数的和”。在此之后，相关问题被数学家广泛研究，并将问题推广为“自然数可以表示为k个k角形数之和”，这个命题最终被柯西证明。这个问题的研究至此还远远没有结束，20世纪初，希尔伯特给出更一般的结论“自然数总可以表示为若干个立方数、四次方数、……、k次方数和，只是个数随着k的增大而增大”。这种把问题推广为关于个数最小的估计的过程本身就推动了数论的发展。

当然，除开数论领域的例子，就数本身的发展就是不断推广的过程。从正整数到有理数再到无理数、复数、四元数、超复数、……等等数的概念的推广本身也就见证了数学的发展。当然，这是向概念的纵深推广。我们在高中阶段做过一类题，那就是将平面几何中的定理推广到立体几何中，这其实是向高维数推广。我们还可以通过类比来横向推广，例如平方和问题与勾股定理。

接下来通过几个详细的例子来阐述推广的思想。

    在高等数学中，有这么一组著名的不等式：柯西(Cauchy)不等式、闵可夫斯基(Minkowski)不等式、赫尔德(Herder)不等式，在李继根老师第一堂课讲解数形结合思想时通过数形结合的思想给我们讲解其中的联系。本文的主题是推广，因此就从推广的角度谈谈三者之间的联系。对于大于0的实数列










   

    下面再举一个高等数学中的例子。通常我们所说的微分中值定理是由罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理组成，而且一般来说，拉格朗日定理是罗尔定理的推广，柯西定理是拉格朗日定理的推广。一般，为了方便起见我们可以利用行列式来构造辅助函数证明最为一般的柯西中值定理。

    接下来这个例子是我在高中时接触到的一道IMO竞赛题，题目大意是说若干个正整数的和是1976，那么这些正整数积的最大值是多少？我们可以把这个问题推广来看，若干个正整数的和是N，那么这些正整数积的最大值是多少？若干个正实数的和是N，那么这些正实数积的最大值又是多少？

    我们由算数-几何均值不等式知道，当n个数的和是N时，这n个数的乘积

但是对于兵团数与军衔种类都是6的情况却迟迟没有进展，欧拉在进行了一些研究尝试后把问题推广提出了这样的猜测：“一般的2(2k+1)阶的正交拉丁方不存在（k为非负整数）”。直到20世纪初，才有科学家利用穷举法证明6阶的正交拉丁方不存在，这更加坚定了人们对于欧拉的猜想是正确的的想法。但是在1958年美国数学家帕克利用群论与有限几何的方法构造出了21阶的正交拉丁方，紧随其后，22阶、10阶的正交拉丁方都被构造出来，这一系列的反例彻底推翻了欧拉的猜想，但是这并不影响欧拉数学大师的地位。事实上对欧拉的错误猜想的研究也不是白费力气，研究过程中演变出的方法与成果现在都已经被用在了数理统计学中的试验设计上，成为一种省时省力的科学试验方法。

通过这一系列的例子，推广这种数学思想方法对于数学研究的重要性是显见的，数学的推广为我们发现、创造一些定理、理论提供了许多难得的机会。这也是我对此的一些浅见。最后将写作本文期间及之前所阅读过的书籍、文献一一列在文后。

附：参阅文献

       1.     数学之美，吴军，人民邮电出版社，2012

       2.     数学大师，E.T.贝尔，上海科技教育出版社，2004

       3.     现代世界中的数学，克莱因，上海教育出版社，2004

       4.     数学分析习题演练，周民强，科学出版社，2009 

       5.     数学小丛书，华罗庚等，科学出版社，2002

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